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第507章52 多重道界(第3页)

对于任意仅含一个自由变元的算术公式F(x),都存在一个公式A,使得A成立当且仅当F(|A|)成立,

|A|表示A的编码数。

证明过程则很简单——

考虑到一个算术公式P(x,y),

对任意算术公式A(x)和B(x),

P(|A(x)|,|B(x)|)=|A(|B(x)|)|。

这样看似乎有些复杂,但思路很简单:

对于每个算术公式F(x),它都能填进一个自然数,像“x是偶数”,添入17就是“17是偶数”,这显然是错的,但也是个命题,能这样填进去构成一个意思明确的命题。

那么,它自然可以添入那些算术公式的编码数,如A(|B(x)|),就是在A(x)中填入了B(x)的编码数,

显然,我能打出A(|B(x)|)就意味着它也有它的编码数|A(|B(x)|)|。

也就是说,P(x,y)就像是x+y这样的式子一样,如10+5=15,

P(x,y)则是在填入公式的编码数的情况下,得出填入了y的编码数的x的编码数。

它直观的理解就是这样一个操作,把y丢进x里,然后证明就很简单了。

对于任意含一个自由变元的公式F(x),都能定义一个G(x)=F(P(x,x)),

这里P中的两个变元相同取值就可以用一个变元表示,就像是n^2=n×n这样。

显然,G(x)也有它的编码数|G(x)|,将这个具体数字填入G(x)中,G(|G(x)|)是不含变元的式子A,

接下来就是纯上述定义的显然事实:

A成立,当且仅当G(|G(x)|)成立,

当且仅当F(P(|G(x)|,|G(x)|)成立,

当且仅当F(|G(|G(x)|)|)成立,

当且仅当F(|A|)成立。

对于任意仅含一个自由变元的算术公式F(x),都存在一个公式A,,使得A成立当且仅当F(|A|)成立,

|A|表示A的编码数,

这个定理一旦证明,可以有的玩法就很多了,F(x),它本质上可以直观的理解为是在说“x是巴拉巴拉”,如开头说的,“x存在证明”,其否定式则是,“x不存在证明”。

这当然也是一个仅含一个变元的公式F(x),直接引用上述定理,就存在一个命题A当且仅当F(|A|)。

F(|A|)的意思就是在说A不存在证明,A为真,当且仅当A不存在证明。

仿佛在说“我不可证明”,这样一来,任你加入什么牛逼超绝还是什么大基数公理,都无法证明它。

假设它可证明为真,则其言不可证明,矛盾。

假设不可证明为真,则其言不可证明,真不可证,没毛病。

但是,若理论是一致的,可以自证一致,即保证自己不会推导矛盾,因不会推导矛盾,就可以直接排除前者的情况。

得到后者,矛盾。

所以,倘若一致即不可自证一致。

对所有一词的妄想任意套用就失效了,理论能够谈论的一切总是相对于这个理论的一切。

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