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第506章ZermeloFraenkel集理论公理（第3页）

ZFC的一致性

断言Con（ZFC）Con（ZFC）是理论的断言ZFC是一致的。这是一个复杂的断言Π01Π10在算术中，因为它断言每个自然数都不是哥德尔代码，证明来自ZFC。由于G?del完整性定理，该断言等同于该理论ZFC有模型?M，∈???M，∈^?。其中一种模型是Henkin模型，该模型基于任何完全一致的Henkin理论扩展的句法程序ZFC。一般来说，人们可能不会认为∈?∈^是实际集成员关系，因为这将使模型成为ZFC，其存在比Con（ZFC）Con（ZFC）。

哥德尔不完全性定理意味着如果ZFCZFC是一致的，那么它就不能证明Con（ZFC）Con（ZFC），因此这个公理的添加严格来说比ZFC独自一人。

表达方式Con2（ZFC）Con2（ZFC）表示断言Con（ZFC+Con（ZFC））Con（ZFC+Con（ZFC）），更笼统地迭代这一点，人们可能会考虑这种说法Conα（ZFC）Conα（ZFC）每当α本身是可以表达的。

及过渡模型

一种传递模型ZFCZFC是一套及物MM以至于结构?M，∈??M，∈?满足所有ZFC集合理论公理。这种模式的存在严格来说比Con（ZFC）Con（ZFC）比迭代一致性层次结构更强大，但比世俗红衣主教、红衣主教的存在更弱κκ为了哪个VκVκ是ZFC，因此也比无法接近的红衣主教的存在更弱。并非所有及物动词模型ZFCZFC有Vκ形式，因为如果有任何及物模型ZFC，然后通过L?wenheim-Skolem定理和Mostowski崩溃引理，有一个可数的这种模型，这些模型从来没有形式Vκ。

尽管如此，每个及物动词模型M的ZFC提供了一个集合理论论坛，在这个论坛中，人们可以看到几乎所有正在进行的经典数学。在这个意义上，普通集理论结构无法访问或无法访问此类模型。因此，存在一个ZFC可以被视为一个大的基数公理：它表达了一个大的概念，这种模型的存在在ZFC并具有严格超越的一致性强度ZFCZFC。

最小及物模型ZFC

如果有任何及物模型M的ZFC，那么LM，计算在M，也是ZFC事实上，有表格Lη，哪里η=ht（M）η=ht（M）是高度M。最小及物模型ZFC是模型Lη，哪里η最小，以至于这是一个模型ZFC。刚才给出的论点表明，最小及物模型是所有其他及物模型的子集ZFC。

它的高度比最不稳定的序数要小，尽管ZFC中可以证明存在稳定序数，而传递模型的存在则不然。

ω-模型ZFC

安ω-模型ZFC是ZFC其自然数的集合与实际自然数同构。换句话说，一个ω-模型是一个没有非标准自然数的模型，尽管它可能有非标准序数。（更一般地说，对于任何序号α，一个α-模型至少有基础良好的部件α。）每个及物模型ZFC是一个ω-模型，但后一个概念严格来说更弱。

一致性层次结构

存在一个ωω-模型ZFCZFC并暗示Con（ZFC）Con（ZFC）当然，还有Con（ZFC+Con（ZFC））Con（ZFC+Con（ZFC））以及大部分迭代一致性层次结构。这只是因为如果M?ZFCM?ZFC并有标准的自然数，然后M同意Con（ZFC）Con（ZFC）坚持，因为它的证据与我们在环境背景下的证据相同。因此，我们认为M满足ZFC+Con（ZFC）ZFC+Con（ZFC）因此，我们相信Con（ZFC+Con（ZFC））Con（ZFC+Con（ZFC））。接下来M同意这种一致性主张，所以我们现在相信Con3（ZFC）Con3（ZFC）。模型M因此同意，所以我们相信Con4（ZFC）Con4（ZFC）等等，只要我们能够以一种M正确解释它们。

每个有限的碎片ZFC由于反射定理，允许许多传递模型。

及过渡模型和强迫

历史上，集合理论的可数传递模型被用作将强迫形式化的便捷方式。这种模型M使强迫理论变得方便，因为人们可以很容易地证明，对于每个部分订单?英寸M，有一个M-通用过滤器G??G?P，只需列举?英寸M按可数顺序?Dn∣n

为了证明一致性，这种形式化效果很好。显示Con（ZFC）→Con（ZFC+φ）Con（ZFC）→Con（ZFC+φ），修复了一个有限的片段ZFC并使用合适的大碎片的可数传递模型，产生φ在强制扩展中包含所需的碎片。

及物模型宇宙公理

及物模型宇宙公理是断言每组都是ZFC。这个公理比费弗曼理论提出了更强有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比宇宙公理更弱，宇宙公理断言宇宙有形式Vκ对于无法接触到的cardinalκκ。

传递模型宇宙公理有时在背景理论中研究，而不是ZFC，但对于ZFC-P，省略了幂集公理，以及断言每个集都是可数的公理。这种事业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集理论宇宙、完整的及物模型ZFC，彼此相关。

每个型号ZFC包含一个模型ZFC作为一个元素

每个模型M的ZFC有一个元素N，它认为这是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型ZFC，从外部看M。这在以下情况下是显而易见的M是一个ω-模型ZFC，因为在这种情况下M同意ZFCZFC是一致的，因此可以构建一个亨金模型ZFC。在其余情况下，M有非标准自然数。通过反射定理应用于M，我们知道Σn碎片ZFC在表单模型中是正确的VMβVβM，对于每个标准自然数n。自从M无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割nn为了哪个M认为一些VMβVβM满足（非标准）Σn碎片ZFC。自从n是非标准，这包括完整的标准理论ZFC，根据需要。

前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾，即可能存在模型ZFC+?Con（ZFC）ZFC+?Con（ZFC）。然而，通过意识到尽管模型N里面M实际上是一个完整的模型ZFC，模型M无需同意这是ZFC，如果M具有非标准自然数，因此非标准长度公理ZFC。

数不清的及物模型

回想一下，L?wenheim-Skolem定理和Mostowski崩溃引理表明，如果ZFC有一个传递模型（或其他集合理论），那么就有一个可数的此类模型。这意味着LL每个不可数的传递模型都是ZFC+的模型V=LV=L+“ZFC+有一个可数的传递模型V=LV=L?这个理论中有一些可数的传递模型，它们必须比最小模型具有更高的高度。同样，也有理论的传递模型，断言不同高度的可数可数传递模型，直到ω1ω1（其意义取决于模型：一般来说ωM11≠ωM21ω1M1≠ω1M2）。此外，还有及物理论模型断言“有ααZFC+的可数传递模型“有ω1不同高度的ZFC可数传递模型?不同高度?等。因此，如果有一个不可数的传递模型，那么“真的很多”（在“等”建议的非正式含义中）可数传递模型，它们在ω1ω1（否则他们不可能有ω1ω1不同的高度）。

假设在VV我们有一个基数高度的及物模型κκ。我们可以把每个数不清的继任者变成红衣主教λ+≤κλ+≤κ进入ω1ω1通过强迫（在V[G]V[G]）。在V[G]V[G]，及物模型不受限制ωV[G]1ω1V[G]（=（λ+）V≤κ=（λ+）V≤κ）。传递模型的可构造宇宙（Lht（M）Lht（M））是ZFC+的型号V=LV=L它是L哪个很常见V和V[G]V[G]。所以ZFC+的型号V=LV=L无限（λ+）V（λ+）V英寸V。他们中的一些人具有高度的基数λλ他们“很多”。因此，如果有基数高度的传递模型κκ，然后有“非常多”所有基数高度的及物模型λ

特别是，ZFC模型（和ZFC+“ZFC模型是无界的”等）在Vκ为了世俗κ，就像在Vκ无法访问κ有世俗、世俗、超世俗等cardinal。

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